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Informazioni generali
- Anno di corso: 2°
- Semestre: 2°
- CFU: 6
Docente responsabile
Laura Menini
Programma del corso
Obiettivi del corso: Riconoscere fenomeni comuni nei sistemi dinamici e alcune principali differenze fra sistemi lineari e non lineari. Calcolare la risposta di sistemi lineari e stazionari di dimensioni ridotte, analizzare le caratteristiche di un sistema e dei suoi modi naturali, anche in funzione del comportamento ingresso-uscita (per comprendere l’importanza della scelta di attuatori e sensori). Studiare la stabilità di sistemi lineari e di punti di equilibrio di sistemi non lineari. Per funzioni di trasferimento a tempo continuo, disegnare i diagrammi di Bode e interpretarli, riconoscendo le caratteristiche fondamentali della risposta armonica (a bassa e ad alta frequenza, filtraggio e risonanza).
Prerequisiti: Analisi Matematica I e II, Geometria (Algebra Lineare).
Contenuti del corso:
Introduzione ai sistemi dinamici
Esempi di sistemi dinamici (termici, meccanici, elettrici, biologici), modelli e rappresentazioni (ingresso-uscita, ingresso-stato-uscita). Cenni su stato a dimensione infinita. Cenni su sistemi a tempo discreto, sistemi ibridi e sistemi ad eventi. Metodo algoritmico per ricavare un modello ingresso-stato uscita per circuiti RLC.
Calcolo della risposta per sistemi LTI (a tempo continuo) Sistemi dinamici a tempo continuo: proprietà generali. Sistemi lineari e stazionari: linearità (sovrapposizione degli effetti, risposta libera e forzata). Esponenziale di matrice. Risposta libera e matrice di transizione dello stato. Risposta forzata. Matrici delle risposte impulsive. Trasformata di Laplace: richiami su definizioni e proprietà. Calcolo di trasformate fondamentali. Antitrasformata di Laplace di funzioni razionali. Calcolo della risposta tramite trasformata di Laplace. Matrici di trasferimento. Richiami su autovalori, molteplicità algebriche e geometriche e forma di Jordan. Modi naturali. Cambio di base nello spazio di stato. Analisi modale: decomposizione spettrale per matrice A diagonalizzabile, traiettorie di sistemi planari. Eccitabilità ed osservabilità dei modi.
Stabilità e sistema linearizzato
Stati di equilibrio; proprietà per sistemi lineari. Richiami sulle norme e sulle norme indotte di matrice. Stabilità, attrattività, stabilità asintotica globale, definizioni ed esempi. Stabilità del moto e della traiettoria (cenni). Stabilità dei sistemi lineari: condizioni sugli autovalori. Richiami su forme quadratiche e funzioni (semi)-definite. Metodo diretto di Lyapunov: teorema di Lyapunov. Stabilità asintotica globale. Teoremi di Cetaev, Krasowskii-LaSalle e Krasowskii. Equazione matriciale di Lyapunov. Sistema linearizzato attorno a un equilibrio. Criterio ridotto di Lyapunov. Stabilità esterna (BIBO) e relazione con stabilità asintotica. Criterio di Routh.
Risposta permanente e risposta armonica
Definizioni di risposta permanente e transitoria. Formule per ingressi esponenziali/sinusoidali. Funzione di risposta armonica. Diagrammi di Bode approssimati; correzione dei diagrammi approssimati. Diagramma polare.
Ulteriori informazioni sul corso e sulle lezioni, in particolare gli esempi discussi in classe e i temi d’esame, sono resi disponibili attraverso le pagine del corso all’indirizzo: http://didattica.uniroma2.it
Modalità d’esame
L’esame di Controlli Automatici prevede una prova scritta e una prova orale. La prova scritta può essere sostenuta sotto forma di prova parziale durante il semestre (al termine della prima parte di corso corrispondente ai 6 crediti da sostenere); in tal caso, se l’esito è positivo, la prova orale è facoltativa e può essere sostenuta durante gli appelli dell’intero anno accademico. Per chi invece non sostiene o non supera con esito soddisfacente la prova parziale, l’esame consiste in una prova scritta e una prova orale da sostenersi nella stessa sessione.
Testi di riferimento
Materiale di studio consigliato
1) O.M. Grasselli, L. Menini, S. Galeani, “Sistemi dinamici”, Hoepli, 2008
2) G. Marro “Controlli Automatici”, Zanichelli
Esercizi e appunti sono presenti sulla pagina del corso all’indirizzo: http://didattica.uniroma2.it
Testi per consultazione:
3) A. Isidori “Controlli Automatici”, Siderea
4) A. Tornambè, P. Valigi, R. Vitelli “Esercizi di Controlli Automatici”, Siderea
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English version
General informations
- Year: 2°
- Semester: 2°
- 6 Credits
Instructor
Laura Menini
Program
Aim of the Course: Recognize common phenomena in dynamical systems and the main differences between linear and nonlinear systems. Compute the response of low-order linear time-invariant systems, analyze the system response and the natural modes, also with respect to the input-output behavior (to understand the importance of actuators and sensors placement). Study the stability of linear systems and of equilibria of non-linear systems. Draw and understand Bode diagrams of continuous-time transfer functions, recognizing fundamental features such as low frequency and high frequency behavior, filtering and resonance properties.
Pre-requisites: Real Analysis, Linear Algebra
Contents:
Introduction to dynamical systems
Examples of dynamical systems (thermal, mechanical, electrical, biological), models and representations (input-output, state-space). Hints on infinite dimensional systems, discrete-time systems, hybrid systems and discrete event systems. Algorithmic method to derive a state space model for an RLC circuit.
Computation of the response of continuous-time LTI systems
General properties, linearity, free ad forced response. State transition matrix. Time convolution. Impulse response matrices. Laplace transfom: definitions and fundamental properties, direct and inverse transform (for proper rational functions). Transfer matrices. Brief survey of eigenvalues, algebraic and geometric multiplicities, Jordan form. Natural modes. Linear coordinate transformations. Modal analysis and spectral decomposition (for diagonalizable matrices). Trajectories of planar systems. Mode reachability and observability.
Stability and linearization
Equilibria and special properties for linear systems. Brief survey on norms and induced norms on matrices. Stability, attractivity, global asimptotic stability, definitions and examples. Brief survey on quadratic forms and positive (semi-)definite functions. Direct Lyapunov Method. Proving Global Asymptotic Stability. Chetaev, Krasowskii-LaSalle and Krasowskii theorems. Matrix Lyapunov equation. Linearized system. Stability by linearization. BIBO stability. Routh criterion.
Steady-state response and frequency response
Definitions of steady-state and transient response. Simple formulas for exponential/sinusoidal inputs. Frequency response. Approximate Bode diagrams. Corrections of approximate Bode diagrams. Nyquist diagram.
Textbooks
1) O.M. Grasselli, L. Menini, S. Galeani, “Sistemi dinamici”, Hoepli, 2008
2) G. Marro “Controlli Automatici”, Zanichelli
Exercises and some class-notes can be found in the course web page at: http://didattica.uniroma2.it
Additional reading:
3) A. Isidori “Controlli Automatici”, Siderea
4) A. Tornambè, P. Valigi, R. Vitelli “Esercizi di Controlli Automatici”, Siderea
Examination procedures:
The exam consists of a written test and an oral examination. The written test can be taken as a partial test during class period (at the end of the first part of the course, corresponding to the 6 credits); in such a case the oral examination is optional and can take place during the exams sessions of the entire academic year. For students that didn’t take the partial test, or didn’t pass it, or prefer to repeat the test, the exam consists of a written test and an oral examination to be taken in the same exams’ session.
